四色定理（四色定理的初等证明）

关于四色定理，采用易经模型的超简洁证明

有了之前的论述，关于易经八元数系统（九元数系统），四元数系统（五行系统）等论述，

今天我们就采用四元数系统的变换原理，来证明世界难题：四色定理，

四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。

地图四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域，

每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色定理的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。

很多人证明了二维平面内无法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪反例。

不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。

到目前为止，四色定理的最终证明是通过计算机完成的。

还没有一种简洁的证明这个简单的原理：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

今天我们就介绍一种简洁的证明方法，其过程如下：（估计3张A4纸就够了。）

第一步：地图上国家的拓扑化，

如果整张地图只有4个国家，包括4个以下的国家，不需要证明。

为了简明证明过程，我们直接证明五个以及五个以上国家的地图着色问题。

首先，我们对任一张指定的地图，设定他们是空白的，没有着色，

我们对这些国家进行拓扑变化，把每个国家变成一个一个独立的点，分散铺在平面上。

我们经常看到的国家是这样的，如图：

经拓扑变换后，地图都只是一个个点，相邻的国家就有连线，不相邻国家就没有连线，如图：

把相邻国家进行连线后，可以进一步拓扑化成这样：

第二步：确定平面上的坐标系，

根据平面的二维特性，二元有理数（x，y）可以表达整个平面上的任一个点，

也就是说，每一个点的坐标，都可以通过坐标轴X轴、Y轴上的数值来表达。

了解到，地图国家之间，着色问题就是一个状态的问题，我们把问题进一步建模，

一个国家代表一种状态，考虑到坐标轴的二元形状，从一个国家，到另外一个相邻的国家，

从一种状态到达另外一种状态，一旦越界，我们就认为发生了变化，我们把这些国家的点进一步拉伸到对应在数轴上的整数点位置。

他的变化只有以下情形：

（1）到达相邻国家，x轴上的数值变化奇数次，或者变化偶数次（0不动，也归属于偶数次），

（2）到达相邻国家，y轴上的数值变化奇数次，或者变化偶数次（0不动，也归属于偶数次），

假定，原点设定为初始状态的国家，那么，相邻的国家可能的情形如下图：

我们给它定义为（x，y），其中：x，y=n，n为任意整数值。

到这个时候为止，为了简便证明过程，我们把地图安放在第一象限，

那么所有国家的状态只有以下四种：（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数），

第三步：构造一个四元变化系统，

为了方便，我们采用四元数系统的四元数标识：

那么，四元数系统就构造起来了，

证明过程：

第一，我们证明一个国家到达另外一个国家，必定是这四种状态中的一种，

反证法，如果存在第五种状态，这个国家必然不存在这个地图上。

因为经过拓扑变化，所有国家的状态都变成了：（整数，整数），

这样只有四种情形：（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数），

第二，一个国家到另外一个国家，状态必然发生变化，

如果不发生变化，那么要么原步不动，要么那个和初始国家状态一样的国家，不和初始国家相邻。

因为每到一个相邻国家，X轴，Y轴上的变化，只发生一次，如果变回原来的状态，意味着不变或者不相邻，

到这里，就完全证明，一个国家到另外一个过，必然发生一直变化，而且是必定变换到四元数系统里面的一个其他因子（另外三个因子的其中一种）。

一旦越界，必然变化，而且只能是四种状态互相变化。

而且，所有国家的状态，都只能是四元数系统的四个因子：

其中的任一种。

越过地图边界状态必然变化，变化有且只有三种，如果自己变化成自己，这种变化是不相邻的。

然后，把四种状态分别对应换成四种颜色，那么四色定理，证明完毕！

推论1：

任何一个立体空间中的子空间区域，只用8种颜色就能使具有共同边界的子空间区域着上不同的颜色。

采用八元数系统，这个是在三维立体空间的推论。

推论2：

我们都在讨论四维时空，或者说四维时空，对于一个四维超空间，边界问题是16种不同的颜色就足够了。

也就是四维超空间，有十六种状态。

推论3：

一直到六维超空间，（我们的研究结果是六维度标准时空）采用的着色问题是64种颜色。

到了这里，大家应该不陌生，就是六爻位对应的六十四卦模型。其实，古人说的八卦真的不玄乎，在说真正的科学，说很实在的数学模型。

后记：

这些推论，不知道具体的应用广泛程度，但是在超级计算机阵列问题，提高运算速度，和多维度计算，肯定是用得上。