柯西不等式(柯西本人是如何证明柯西不等式的)

圈圈笔记 45

柯西不等式:若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数,n为大于1的整数,则a₁+a₂+…+aₙ≥

n ⁿ√(a₁a₂…aₙ),其中当a₁=a₂=…=aₙ时

等号成立.

为证明柯西不等式,首先介绍下列两个引理:

引理1 若a、b为非负数,则a+b≥

2√(ab),其中当a=b时等号成立.

引理2 若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数,

且n=2ˣ,x为正整数,则

a₁+a₂+…+aₙ≥n ⁿ√(a₁a₂…aₙ),其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.

引理的说明:引理1显然成立(证明从略),逐施引理1即可得到引理2(证明从略).

其次证明柯西不等式:

(1)当n=2ˣ,x为正整数时,由引理2可直接得到所证结论成立.

(2)当n=2ˣ-y,即n+y=2ˣ,1≤y≤2ˣ-3,

x、y为正整数,且x>1时,设

aₙ₊₁=aₙ₊₂=…=aₙ₊ᵧ=ⁿ√(a₁a₂…aₙ),

则由引理2可得

a₁+a₂+…+aₙ+aₙ₊₁+aₙ₊₂+…+aₙ₊ᵧ≥

(n+y)ⁿ⁺ʸ√[(a₁a₂…aₙ)ⁿ√(a₁a₂…aₙ)ⁿ√(a₁a₂…aₙ)…ⁿ√(a₁a₂…aₙ)]=

(n+y)ⁿ⁺ʸ√[(a₁a₂…aₙ)⁽ⁿ⁺ʸ ⁾/ⁿ]=

(n+y)ⁿ√(a₁a₂…aₙ),

其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.

即a₁+a₂+…+aₙ+ⁿ√(a₁a₂…aₙ)+

ⁿ√(a₁a₂…aₙ)+…+ⁿ√(a₁a₂…aₙ)≥

(n+y)ⁿ√(a₁a₂…aₙ),

故a₁+a₂+…+aₙ≥nⁿ√(a₁a₂…aₙ).

其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.

从而柯西不等式明所欲证!

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